Aplicación lineal dados dos conjuntos de vectores

Buscar una aplicación lineal que mapee cada vector del conjunto ordenado de vectores V, en el vector correspondiente del conjunto ordenado de vectores U.

V = {(4  1  2); (1  0  -3); (5  1  -2); (-1  0  2)}

U = {(2  -5  9  -6); (-2  -2  9  1); (-1  -5  0  -6); (1  4  -27  -2)}

¿Cómo resolver este problema?

Si V es una base, existe una única aplicación lineal que transforma los vectores de V en los vectores de la U. Si los vectores de V son linealmente independientes, pero no son una base, existe un número infinito de aplicaciones lineales. Si los vectores de V son linealmente dependientes, entonces podría existir ninguna, una, o un número infinito de aplicaciones lineales, dependiendo de los vectores de U. Todos estos problemas se pueden resolver algebraicamente o matricialmente, pero se utilizará la segunda variante, la cual se considera la forma más fácil.

• En la práctica, para resolver el primer caso, se multiplica la matriz formada por los vectores de U como columnas, por la inversa de la matriz compuesta por los vectores de V en forma de columnas. La matriz resultante es la matriz de la aplicación lineal relativa a las bases canónicas. La matriz compuesta por los vectores de V como columnas siempre es invertible, debido a que V es una base del espacio vectorial de entrada. Esta forma de calcular la aplicación lineal es una consecuencia directa del procedimiento para encontrar la matriz de una aplicación lineal dadas dos bases.
• Para resolver el segundo caso, solamente debe completarse una base del espacio de entrada a partir de los vectores de V, mapeando los vectores adicionados con el vector nulo del espacio de salida, y resolviendo utilizando el procedimiento del primer caso.
• Para resolver el tercer caso, se debe extraer un subconjunto linealmente independiente de V, al que llamaremos A. Verificar para cada vector no contenido en A, que los coeficientes al expresar este vector como combinación lineal de los vectores de A son iguales a los obtenidos al expresar su correspondiente imagen como combinación lineal de las imágenes de los vectores de A, en el mismo orden. Si para uno de estos vectores el proceso falla, entonces, no existe ninguna aplicación lineal que pueda transformar V en U. Si el proceso tiene éxito, utilice el procedimiento explicado para el segundo caso.

Paso 1: Determinar si V es un conjunto de vectores linealmente independiente o dependiente.

Escribir la matriz formada por los vectores como columnas.

┌               ┐
│ 4   1   5  -1 │
│ 1   0   1   0 │
│ 2  -3  -2   2 │
└               ┘

Escalonar la matriz ampliada utilizando transformaciones elementales por filas.

f1 <———> f2
┌               ┐
│ 1   0   1   0 │
│ 4   1   5  -1 │
│ 2  -3  -2   2 │
└               ┘
f2 <———> f2 - 4•f1
f3 <———> f3 - 2•f1
┌               ┐
│ 1   0   1   0 │
│ 0   1   1  -1 │
│ 0  -3  -4   2 │
└               ┘
f3 <———> f3 + 3•f2
┌              ┐
│ 1  0   1   0 │
│ 0  1   1  -1 │
│ 0  0  -1  -1 │
└              ┘

Hallar el rango.

Rango(V) = 3

Solución.

V es un conjunto de vectores linealmente dependiente.

Paso 2: Extraer de V un subconjunto de vectores linealmente independiente. Llamémosle A.

Seleccionar una columna por cada paso de la matriz escalonada.

Índices de las columnas = {1, 2, 3}

Solución.

A = {(4  1  2); (1  0  -3); (5  1  -2)}

Paso 3: Determinar si es posible encontrar una aplicación lineal que transforme V en U.

Seleccionar el subconjunto de vectores formado por los vectores que no están en el subconjunto de vectores linealmente independiente. Llamémosle C.

C = {(-1  0  2)}

Comprobar para cada vector de C, que los coeficientes al expresar este vector como combinación lineal de los vectores de A son iguales a los obtenidos al expresar su correspondiente imagen como combinación lineal de las imágenes de los vectores de A, en el mismo orden.

f(-1  0  2) = (1  4  -27  -2)

(-1  0  2) =  - 1•(4  1  2) - 2•(1  0  -3) + 1•(5  1  -2)

f(-1  0  2) =  - 1•f(4  1  2) - 2•f(1  0  -3) + 1•f(5  1  -2)

(1  4  -27  -2) =  - 1•(2  -5  9  -6) - 2•(-2  -2  9  1) + 1•(-1  -5  0  -6)

(1  4  -27  -2) = (1  4  -27  -2)

El proceso fue exitoso para todos los vectores de C, por lo tanto cualquier aplicación lineal que transforme los vectores de A en sus correspondientes imágenes, transformará los vectores de C en sus correspondientes imágenes.

El conjunto de vectores A es una base del espacio de entrada. Llamémosle B.

Paso 4: Quitar de U los vectores correspondientes a las imágenes de los vectores de C.

U = {(2  -5  9  -6); (-2  -2  9  1); (-1  -5  0  -6)}

Paso 5: Calcular la inversa de la matriz de la base B.

Calcular el determinante.

│ 4   1   5 │
│ 1   0   1 │ = 4•0•(-2) + 1•1•2 + 1•(-3)•5 - 5•0•2 - 1•1•(-2) - 1•(-3)•4 = 1
│ 2  -3  -2 │

Calcular la matriz de los cofactores.

         ┌              ┐
         │   3    4  -3 │
Cof(B) = │ -13  -18  14 │
         │   1    1  -1 │
         └              ┘

Transponer la matriz de los cofactores para obtener la matriz adjunta.

         ┌             ┐
         │  3  -13   1 │
Adj(B) = │  4  -18   1 │
         │ -3   14  -1 │
         └             ┘

Dividir cada elemento de la matriz adjunta por el determinante para obtener la matriz inversa.

         ┌             ┐
         │  3  -13   1 │
Inv(B) = │  4  -18   1 │
         │ -3   14  -1 │
         └             ┘

Paso 6: Multiplicar la matriz U por la inversa de la matriz de la base B.

           ┌              ┐
           │  1    -4   1 │
           │ -8    31  -2 │
U•Inv(B) = │ 63  -279  18 │
           │  4   -24   1 │
           └              ┘

Paso 7: Solución final.

f(x, y, z) = (x-4y+z; -8x+31y-2z; 63x-279y+18z; 4x-24y+z)