Combinación lineal

Expresar el vector u como combinación lineal de los vectores de V.

V = {(1  -4  1  2); (4  -8  4  4); (-4  4  -5  -3); (2  -2  3  2)}
u = (-4  2  -5  -2)

¿Cómo resolver este problema?

Un vector u es combinación lineal de los vectores v1, v2, ..., vn si existen n escalares tales que u = a1•v1+a2•v2+...+an•vn. En la práctica, este problema se reduce a resolver un sistema de ecuaciones lineales, donde las incógnitas son los escalares a determinar, y las columnas de la matriz del sistema son los vectores del conjunto V, agregando el vector u para componer la matriz ampliada. Si este sistema tiene solución, entonces el vector u puede expresarse como combinación lineal utilizando como escalares los valores de cualquier solución particular (si hay un número infinito de soluciones), o los valores de la solución única, si es el caso, de acuerdo a la clasificación del sistema.

Paso 1: Escribir la matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales asociado a este problema. Las columnas de la matriz del sistema son los vectores del conjunto V, y la última columna para componer la matriz ampliada es el vector u.

┌                      ┐
│  1   4  -4   2 |  -4 │
│ -4  -8   4  -2 |   2 │
│  1   4  -5   3 |  -5 │
│  2   4  -3   2 |  -2 │
└                      ┘

Paso 2: Escalonar la matriz ampliada utilizando transformaciones elementales por filas.

f2 <———> f2 + 4•f1
f3 <———> f3 - f1
f4 <———> f4 - 2•f1
┌                       ┐
│ 1   4   -4   2 |   -4 │
│ 0   8  -12   6 |  -14 │
│ 0   0   -1   1 |   -1 │
│ 0  -4    5  -2 |    6 │
└                       ┘
f2 <———> f4
┌                       ┐
│ 1   4   -4   2 |   -4 │
│ 0  -4    5  -2 |    6 │
│ 0   0   -1   1 |   -1 │
│ 0   8  -12   6 |  -14 │
└                       ┘
f4 <———> f4 + 2•f2
┌                     ┐
│ 1   4  -4   2 |  -4 │
│ 0  -4   5  -2 |   6 │
│ 0   0  -1   1 |  -1 │
│ 0   0  -2   2 |  -2 │
└                     ┘
f4 <———> f4 - 2•f3
┌                     ┐
│ 1   4  -4   2 |  -4 │
│ 0  -4   5  -2 |   6 │
│ 0   0  -1   1 |  -1 │
│ 0   0   0   0 |   0 │
└                     ┘

Paso 3: Clasificar el sistema.

Los rangos de las matrices son iguales, pero menores que el número de variables. Hay infinitas soluciones (el sistema es compatible indeterminado).

Paso 4: Traducir la matriz escalonada al sistema de ecuaciones lineales asociado, eliminando las ecuaciones nulas.

x+4y-4z+2w = -4
-4y+5z-2w = 6
-z+w = -1

Paso 5: Seleccionar las variables libres, que son las asociadas a aquellas columnas de la matriz del sistema que no contienen entradas principales.

{ w }

Paso 6: Sustitución hacia atrás. Comenzando con la última ecuación, despejar la variable dependiente expresándola en términos de las variables libres, y reemplazarla en la ecuación anterior. Realizar este proceso hasta la primera ecuación.

-z+w = -1
z = 1+w

-4y+5z-2w = 6
y = (-6+5z-2w)/4
y = (-6+5•(1+w)-2w)/4
y = (-1+3w)/4

x+4y-4z+2w = -4
x = -4-4y+4z-2w
x = -4-4•((-1+3w)/4)+4•(1+w)-2w
x = 1-w

Paso 7: Solución.

coef =  {(1-w ; (-1+3w)/4 ; 1+w ; w) | w ∈ R }

Paso 8: Solución particular.

coef =  { (1 , -1/4 , 1 , 0) }

coef =  { (1 , -0.25 , 1 , 0) }