Sistema de ecuaciones lineales

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando eliminación Gaussiana.

7y+z-2w = 5
-4x-4y-z+w = -6
4x+7y+z-2w = 9
4x+5y+2z-w = 5

¿Cómo resolver este problema?

Representar el sistema de ecuaciones lineales en forma matricial, donde cada fila corresponde a una ecuación, y cada columna a una variable, y los elementos de la matriz se compone de los coeficientes de las variables (esta matriz se llama matriz del sistema o matriz de coeficientes). Agregar una columna al final de la matriz del sistema compuesta por los términos constantes (esta nueva matriz se llama matriz ampliada). Escalonar la matriz ampliada. Si tiene solución, traducir la matriz resultante en el sistema de ecuaciones lineales asociado, y utilizar el método de sustitución hacia atrás para encontrar la solución del sistema anterior.

Paso 1: Representar el sistema de ecuaciones lineales en forma matricial. La matriz antes de la línea discontinua es la matriz del sistema, la matriz completa es la matriz ampliada.

    ┌                      ┐
    │  0   7   1  -2 |   5 │
    │ -4  -4  -1   1 |  -6 │
A = │  4   7   1  -2 |   9 │
    │  4   5   2  -1 |   5 │
    └                      ┘

Paso 2: Escalonar la matriz ampliada utilizando transformaciones elementales por filas.

f1 <———> f4
┌                      ┐
│  4   5   2  -1 |   5 │
│ -4  -4  -1   1 |  -6 │
│  4   7   1  -2 |   9 │
│  0   7   1  -2 |   5 │
└                      ┘
f2 <———> f2 + f1
f3 <———> f3 - f1
┌                    ┐
│ 4  5   2  -1 |   5 │
│ 0  1   1   0 |  -1 │
│ 0  2  -1  -1 |   4 │
│ 0  7   1  -2 |   5 │
└                    ┘
f3 <———> f3 - 2•f2
f4 <———> f4 - 7•f2
┌                    ┐
│ 4  5   2  -1 |   5 │
│ 0  1   1   0 |  -1 │
│ 0  0  -3  -1 |   6 │
│ 0  0  -6  -2 |  12 │
└                    ┘
f4 <———> f4 - 2•f3
┌                    ┐
│ 4  5   2  -1 |   5 │
│ 0  1   1   0 |  -1 │
│ 0  0  -3  -1 |   6 │
│ 0  0   0   0 |   0 │
└                    ┘

Paso 3: Clasificar el sistema.

Los rangos de las matrices son iguales, pero menores que el número de variables. Hay infinitas soluciones (el sistema es compatible indeterminado).

Paso 4: Traducir la matriz escalonada al sistema de ecuaciones lineales asociado, eliminando las ecuaciones nulas.

4x+5y+2z-w = 5
y+z = -1
-3z-w = 6

Paso 5: Seleccionar las variables libres, que son las asociadas a aquellas columnas de la matriz del sistema que no contienen entradas principales.

{ w }

Paso 6: Sustitución hacia atrás. Comenzando con la última ecuación, despejar la variable dependiente expresándola en términos de las variables libres, y reemplazarla en la ecuación anterior. Realizar este proceso hasta la primera ecuación.

-3z-w = 6
z = (-6-w)/3

y+z = -1
y = -1-z
y = -1-((-6-w)/3)
y = (3+w)/3

4x+5y+2z-w = 5
x = (5-5y-2z+w)/4
x = (5-5•((3+w)/3)-2•((-6-w)/3)+w)/4
x = 1

Paso 7: Vector solución.

S =  { (1 ; (3+w)/3 ; (-6-w)/3 ; w) | w ∈ R }

S =  { (1 ; 1+0.3333w ; -2-0.3333w ; w) | w ∈ R }