Subespacio suma

Hallar la suma de los subespacios E y F.

E =  {(x, y, z, w)∈ R4 | -y+w = 0; x-2y-2z+w = 0 }

F =  {(x, y, z, w)∈ R4 | x-2z-w = 0; x+4y+4z+w = 0; 2y+3z+w = 0 }

¿Cómo resolver este problema?

La suma de dos subespacios E y F, representado como E + F, consiste en todos los vectores de la forma u + v, donde u pertenece a E y V pertenece a F. Es el más pequeño de todos los subespacios que contiene a ambos subespacios. En la práctica, para encontrar el subespacio suma, sólo debe hallarse el subespacio generado por la unión de dos conjuntos generadores, uno de E y otro de F. En este caso, primeramente se deben hallar dos conjuntos generadores de E y F respectivamente, específicamente dos bases, una para el subespacio E y otro para el subespacio F.

Paso 1: Encontrar una base del subespacio E.

Ecuaciones implícitas del subespacio E.

-y+w = 0
x-2y-2z+w = 0

Representar en forma matricial el sistema de ecuaciones lineales formado por las ecuaciones implícitas del subespacio E.

┌                   ┐
│ 0  -1   0  1 |  0 │
│ 1  -2  -2  1 |  0 │
└                   ┘

Escalonar la matriz ampliada utilizando transformaciones elementales por filas.

f1 <———> f2
┌                   ┐
│ 1  -2  -2  1 |  0 │
│ 0  -1   0  1 |  0 │
└                   ┘

Traducir la matriz escalonada al sistema de ecuaciones lineales asociado, eliminando las ecuaciones nulas.

x-2y-2z+w = 0
-y+w = 0

Seleccionar las variables libres.

{ z, w }

Sustitución hacia atrás.

-y+w = 0
y = w

x-2y-2z+w = 0
x = 2y+2z-w
x = 2•(w)+2z-w
x = 2z+w

Representación paramétrica.

E =  {(2z+w ; w ; z ; w) | z, w ∈ R }

Base del subespacio E. Llamémosle A.

A = {(1  1  0  1); (2  0  1  0)}

Paso 2: Encontrar una base del subespacio F.

Ecuaciones implícitas del subespacio F.

x-2z-w = 0
x+4y+4z+w = 0
2y+3z+w = 0

Representar en forma matricial el sistema de ecuaciones lineales formado por las ecuaciones implícitas del subespacio F.

┌                   ┐
│ 1  0  -2  -1 |  0 │
│ 1  4   4   1 |  0 │
│ 0  2   3   1 |  0 │
└                   ┘

Escalonar la matriz ampliada utilizando transformaciones elementales por filas.

f2 <———> f2 - f1
┌                   ┐
│ 1  0  -2  -1 |  0 │
│ 0  4   6   2 |  0 │
│ 0  2   3   1 |  0 │
└                   ┘
f2 <———> f3
┌                   ┐
│ 1  0  -2  -1 |  0 │
│ 0  2   3   1 |  0 │
│ 0  4   6   2 |  0 │
└                   ┘
f3 <———> f3 - 2•f2
┌                   ┐
│ 1  0  -2  -1 |  0 │
│ 0  2   3   1 |  0 │
│ 0  0   0   0 |  0 │
└                   ┘

Traducir la matriz escalonada al sistema de ecuaciones lineales asociado, eliminando las ecuaciones nulas.

x-2z-w = 0
2y+3z+w = 0

Seleccionar las variables libres.

{ z, w }

Sustitución hacia atrás.

2y+3z+w = 0
y = (-3z-w)/2

x-2z-w = 0
x = 2z+w

Representación paramétrica.

F =  {(2z+w ; (-3z-w)/2 ; z ; w) | z, w ∈ R }

Base del subespacio F. Llamémosle B.

B = {(2  -1  0  2); (4  -3  2  0)}

Paso 3: Hallar el subespacio generado por los vectores de ambas bases: A y B.

Escribir la matriz ampliada asociada.

┌                  ┐
│ 1  2   2   4 | x │
│ 1  0  -1  -3 | y │
│ 0  1   0   2 | z │
│ 1  0   2   0 | w │
└                  ┘

Escalonar la matriz ampliada utilizando transformaciones elementales por filas, teniendo en cuenta la última columna conformada por expresiones que dependen de las variables.

f2 <———> f2 - f1
f4 <———> f4 - f1
┌                      ┐
│ 1   2   2   4 | x    │
│ 0  -2  -3  -7 | -x+y │
│ 0   1   0   2 | z    │
│ 0  -2   0  -4 | -x+w │
└                      ┘
f2 <———> f3
┌                      ┐
│ 1   2   2   4 | x    │
│ 0   1   0   2 | z    │
│ 0  -2  -3  -7 | -x+y │
│ 0  -2   0  -4 | -x+w │
└                      ┘
f3 <———> f3 + 2•f2
f4 <———> f4 + 2•f2
┌                        ┐
│ 1  2   2   4 | x       │
│ 0  1   0   2 | z       │
│ 0  0  -3  -3 | -x+y+2z │
│ 0  0   0   0 | -x+2z+w │
└                        ┘

Paso 4: Subespacio E + F.

E + F =  {(x, y, z, w)∈ R4 | -x+2z+w = 0 }

Representación paramétrica del subespacio.

Variables libres.

{ y, z, w }

Sustitución hacia atrás.

-x+2z+w = 0
x = 2z+w

Representación paramétrica.

E + F =  { (2z+w ; y ; z ; w) | y, z, w ∈ R }