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¿Cuán afortunado eres si ganas la lotería?

18-10-2013
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Kevin
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Muchas personas encuentran en la lotería la posibilidad de cambiar su vida, pero la realidad es que las probabilidades son tan bajas, que la gran mayoría podría estar jugando por cientos de años sin jamás acercarse al premio. Un pensamiento que pasa normalmente por la mente de los jugadores es la siguiente: "Si hay personas que ganan el premio, por qué no puede tocarme a mí", lo cual no pongo en duda, pero echemos un vistazo a los números y veamos cuan afortunado seríamos si ganáramos la lotería.

Supongamos que estás jugando una lotería que consta de 49 números y en cada sorteo se seleccionan 6 de ellos aleatoriamente. Otras loterías pueden calcularse utilizando las mismas ideas que se exponen aquí.

Para poder calcular la probabilidad que tenemos de acertar, es necesario introducir algunos conceptos básicos. Primeramente, es importante saber que esta probabilidad está relacionada con la cantidad de combinaciones posibles que podrían generarse, a razón de 1 entre la cantidad total de combinaciones.

En la teoría de las probabilidades, existen dos conceptos básicos que no deben confundirse: Combinaciones y Permutaciones. Si tenemos en consideración el orden, entonces estamos hablando de permutaciones, en caso contrario hablamos de combinaciones. En la lotería normalmente no importa el orden en que salgan los números, por lo que nos centraremos, por ahora, en las combinaciones, y sus fórmulas de cálculo.

Dentro de las combinaciones, nos encontraremos con dos tipos, aquellas en la cual los elementos pueden repetirse y en las que no pueden, como es el caso que estamos analizando, donde los números se eligen de uno en uno, sin posibilidad de que se repitan, y todos tienen igual probabilidad de ser elegidos.

Aunque existe una fórmula para calcular combinaciones sin repetición, propongo hacer un pequeño razonamiento que nos conduzca a dicha fórmula. Volvamos al ejemplo supuesto de la lotería que consta de 49 números, a seleccionar 6.

Básicamente, para calcular la cantidad total de combinaciones donde los números no se repiten, se halla primeramente, la cantidad total de posibilidades existentes para seleccionar ordenadamente 6 números, y luego se divide entre la cantidad total de permutaciones de los 6 números seleccionados.

Veamos primero como obtener el total de posibilidades existentes para seleccionar ordenadamente 6 números aleatorios. El primero de ellos puede ser elegido de entre los 49 existentes, por lo que habrá 49 posibles variantes. Para seleccionar el segundo número, tendremos entonces 48 variantes, que es la cantidad de números disponibles que tenemos. Como por cada una de las posibles variantes para seleccionar el primer número tenemos 48 para el segundo, el total de variantes para seleccionar los dos primeros números se calcula como el producto de 49 y 48, obteniendo 2352 posibles variantes.

De manera análoga para seleccionar el tercer número, tendremos 47 variantes, resultando en total, que para seleccionar los tres primeros números, tendremos: 49x48x47 = 110544 posibles variantes para hacerlo. Siguiendo este razonamiento obtendremos que para elegir 6 números tendremos 49x48x47x46x45x44 = 10,068,347,520 posibles variantes.

Como se explicó anteriormente, a partir del hecho que no nos interesa el orden en que se seleccionen los números, debemos entonces dividir el número de variantes obtenido por la cantidad de posibles formas de permutar los 6 números seleccionados, cuyo razonamiento para su cálculo es similar al anterior.

El primer número puede ocupar cualquiera de las 6 posiciones. Una vez fijado el primer número, el segundo podrá ocupar cualquiera de las 5 posiciones restantes, el tercero cualquiera de las 4 posiciones restantes, y así sucesivamente. De manera que al final obtendremos: 6x5x4x3x2x1 = 720 posibles permutaciones. A esta operación matemática, donde se multiplican los números consecutivos desde el 1 hasta k, se denomina k factorial y se escribe k!, en este caso particular 6! = 720.

Dividiendo ambos valores se obtiene: 10,068,347,520 / 720 = 13,983,816. De manera que la probabilidad de acertar los 6 números de la lotería es 1 en 13,983,816. Si jugásemos una lotería con una frecuencia diaria, deberían pasar algo más de 38000 años para cubrir, en teoría, todas las posibles combinaciones. Como se puede apreciar, la probabilidad de ganar es extremadamente pequeña, por lo que no debe sentirse frustrado ante el infortunio.

Nótese que 49x48x47x46x45x44 puede escribirse en la notación factorial como:

49! / 43! = 49! / (49 - 6)!

y la fórmula final como:

49! / 6!x(49 - 6)!

Generalizando está fórmula, podemos decir que la cantidad de combinaciones posibles, para seleccionar k números de n posibles, es:

que se denota con grandes paréntesis y se llama "coeficiente binomial". Utilizando esta fórmula, es muy fácil entonces, calcular la cantidad de combinaciones posibles para cualquier lotería, y con ello la probabilidad de acertar.

Si el sorteo consta de dos combinaciones de números, como es el caso de Euromillones, donde se trata de adivinar una combinación de 5 números (del 1 al 50) y 2 estrellas (del 1 al 11), basta con calcular las combinaciones por separado y luego multiplicar los valores. Para este caso particular sería:

(50x49x48x47x46 / 5x4x3x2x1) x (11x10 / 2x1)

= (254,251,200 / 120) x (110 / 2)

= 2,118,760 x 55

= 116,531,800

Por lo tanto, la probabilidad de ganar la lotería de EuroMillones es 1 en 116,531,800.

Aunque existen muchos programas de computadoras que dicen predecir los próximos números, la realidad es que la aleatoriedad de las máquinas utilizadas para los sorteos ha sido bien probada, no dejando oportunidad para el diseño de algoritmos, que basados en los datos históricos, puedan predecir con bastante certeza los números del próximo sorteo.

Mi consejo es el siguiente, si a pesar de todo lo que ha leído aquí persiste en jugar y mantiene viva la esperanza de que un día le puede tocar, hágalo como un pasatiempo, no como una alternativa para mejorar sus finanzas, en ese caso le aconsejo trabajar duro y esforzarse, es la vía más segura.

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1 Comentario

Ernesto

Ernesto

25-Jun-2014
Muy interesante el artículo, no tenía la más mínima idea de como se calculaban las probabilidades de la loteria.
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