El problema de la semana - Encuentre la matriz no singular

El problema de esta semana es acerca de la inversa de una matriz cuadrada, donde necesitarás conocer algunas propiedades básicas y un método para calcularla. Antes de exponer el problema, veamos algunos conceptos y aplicaciones relacionados con la matriz inversa.

La inversa de una matriz cuadrada A es una matriz A¯¹ tal que AA¯¹=I, donde I es la matriz identidad. A se dice que es invertible o no singular si existe su inversa.

Se puede probar que una matriz cuadrada A es invertible si y solo si su determinante no es cero. La existencia de la matriz inversa está relacionada con otras propiedades equivalentes en el Álgebra Lineal.

Las matrices inversas son útiles en varios campos, tales como:

• Criptografía, para descifrar un mensaje que ha sido encriptado usando una matriz invertible.

• Procesamiento de imágenes, donde varias transformaciones pueden ser expresadas como el producto de matrices, y para revertir esas transformaciones solo se requiere multiplicar por la matriz inversa.

• Resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados.

Encuentre la matriz 3x3 no singular A que satisface la ecuación 4A - BA + I = 0, donde:

    ┌            ┐
    │  5  -3  -1 │
B = │  1   0  -1 │
    │ -1   3   6 │
    └            ┘

Asumiendo que A es no singular, entonces la matriz inversa A¯¹ existe.

Multiplicando la ecuación dada por A¯¹ a la derecha, se obtiene:

4AA¯¹ - BAA¯¹ + A¯¹ = 0
4I - B + A¯¹ = 0

despejando A¯¹, tenemos

A¯¹ = B - 4I

resultando en

      ┌            ┐
      │  1  -3  -1 │
A¯¹ = │  1  -4  -1 │
      │ -1   3   2 │
      └            ┘

Como (A¯¹)¯¹ = A, para encontrar A, necesitamos encontrar la inversa de A¯¹.

Usaremos el método de transformaciones elementales por filas, pero también se puede resolver utilizando el método de la matriz adjunta.

Reducimos la matriz ampliada [A¯¹ | I] usando las siguientes transformaciones:

┌                      ┐
│  1  -3  -1 | 1  0  0 │
│  1  -4  -1 | 0  1  0 │
│ -1   3   2 | 0  0  1 │
└                      ┘

f2 <———> f2 - f1
f3 <———> f3 + f1
┌                      ┐
│ 1  -3  -1 |  1  0  0 │
│ 0  -1   0 | -1  1  0 │
│ 0   0   1 |  1  0  1 │
└                      ┘

f1 <———> f1 + f3
┌                     ┐
│ 1  -3  0 |  2  0  1 │
│ 0  -1  0 | -1  1  0 │
│ 0   0  1 |  1  0  1 │
└                     ┘
f1 <———> f1 - 3•f2
┌                      ┐
│ 1   0  0 |  5  -3  1 │
│ 0  -1  0 | -1   1  0 │
│ 0   0  1 |  1   0  1 │
└                      ┘

f2 <———> -f2
┌                     ┐
│  1  0  0 | 5  -3  1 │
│  0  1  0 | 1  -1  0 │
│  0  0  1 | 1   0  1 │
└                     ┘

De manera que la matriz que necesitamos es la que se encuentra en la parte derecha:

    ┌          ┐
    │ 5  -3  1 │
A = │ 1  -1  0 │
    │ 1   0  1 │
    └          ┘