Escalonar una matriz

Escalonar la matriz A realizando transformaciones elementales por filas.

    ┌                ┐
    │  2   2   4  -8 │
    │ -1  -3  -4   5 │
A = │  2  -1  -1   0 │
    │  0  -2  -2   1 │
    └                ┘

¿Cómo resolver este problema?

Cuando una fila de la matriz A no es nula, a su primer elemento diferente de cero se le llama la entrada principal de la fila. La matriz A se denomina matriz escalonada o se dice que está en forma escalonada, cuando todas las filas nulas, si las hay, están en la parte inferior de la matriz, y cada entrada principal está a la derecha de la entrada principal de la fila precedente. Un método conveniente para escalonar una matriz consiste en hacer ceros todos los elementos que están por debajo de la entrada principal (pivote) en cada fila, comenzando por la primera fila, hasta que la matriz esté escalonada.

• Para este fin, cuando el elemento correspondiente en la fila a modificar no es cero (el que está en la misma columna que el pivote), utilice transformaciones elementales de tercer tipo por filas (adicionar a una fila otra multiplicada por un escalar no nulo) sustituyendo cada fila debajo de la fila pivote por ella misma menos la fila pivote multiplicada por el cociente entre el elemento correspondiente de la fila a modificar y el pivote.
• Utilice las operaciones elementales de primer tipo por filas (intercambiar dos filas) para encontrar un pivote distinto de cero o mover la filas nulas hacia el final.
• Utilice transformaciones elementales de segundo tipo por filas (multiplicar una fila por un escalar no nulo) para evitar trabajar con números fraccionarios, multiplicando antes de realizar la transformación de tercer tipo, la fila a modificar por un escalar, de manera que el elemento correspondiente sea un múltiplo del pivote.

Paso 1: Realizar transformaciones elementales por filas hasta que todas las filas nulas están por debajo de todas las filas no nulas, y en las filas no nulas, la entrada principal se encuentre en una columna a la derecha de las entradas principales de las filas anteriores.

f1 <———> f2
┌                ┐
│ -1  -3  -4   5 │
│  2   2   4  -8 │
│  2  -1  -1   0 │
│  0  -2  -2   1 │
└                ┘
f2 <———> f2 + 2•f1
f3 <———> f3 + 2•f1
┌                ┐
│ -1  -3  -4   5 │
│  0  -4  -4   2 │
│  0  -7  -9  10 │
│  0  -2  -2   1 │
└                ┘
f2 <———> f4
┌                ┐
│ -1  -3  -4   5 │
│  0  -2  -2   1 │
│  0  -7  -9  10 │
│  0  -4  -4   2 │
└                ┘
f3 <———> -2•f3
┌                 ┐
│ -1  -3  -4    5 │
│  0  -2  -2    1 │
│  0  14  18  -20 │
│  0  -4  -4    2 │
└                 ┘
f3 <———> f3 + 7•f2
f4 <———> f4 - 2•f2
┌                 ┐
│ -1  -3  -4    5 │
│  0  -2  -2    1 │
│  0   0   4  -13 │
│  0   0   0    0 │
└                 ┘

Paso 2: Solución final.

    ┌                 ┐
    │ -1  -3  -4    5 │
    │  0  -2  -2    1 │
A ~ │  0   0   4  -13 │
    │  0   0   0    0 │
    └                 ┘