El problema de la semana - Encontrar la matriz idempotente

Cada miércoles, Nibcode Solutions te traerá un nuevo problema de Álgebra Lineal, cuya respuesta se publicará los martes de la semana siguiente.

Los problemas cubrirán los temas más importantes del Álgebra Lineal, desde problemas simples hasta algunos un poco más complejos, pero todos orientados a proporcionarte ejemplos que te permitan comprender los conceptos principales y los métodos de resolución de problemas del Álgebra Lineal.

Este problema de la semana involucra la multiplicación de matrices, que se considera la operación matricial más importante, y aunque no es tan sencilla como la adición, el método no es difícil de comprender.

¿Encuentra todos los valores de x, y, z, si existen, tal que la matriz A sea idempotente?

    ┌               ┐
    │  x  -x-3  x+1 │
A = │ 25     z   30 │
    │  y  -y-8  y+5 │
    └               ┘

Por definición, si la matriz A es idempotente, entonces:

┌               ┐┌               ┐   ┌               ┐
│  x  -x-3  x+1 ││  x  -x-3  x+1 │   │  x  -x-3  x+1 │
│ 25     z   30 ││ 25     z   30 │ = │ 25     z   30 │
│  y  -y-8  y+5 ││  y  -y-8  y+5 │   │  y  -y-8  y+5 │ 
└               ┘└               ┘   └               ┘

Para multiplicar dos matrices A y B, multiplicamos cada fila de A por cada columna de B. Para encontrar la entrada asociada a la fila i y la columna j en la matriz resultante, multiplicamos la i-ésima fila de A por la j-ésima columna de B, que se obtiene de sumar todos los productos de los elementos correspondientes. En este problema, cada combinación lleva a una ecuación, obteniéndose las siguientes 9 ecuaciones:

1. x²       + 25(-x-3) + y(x+1)      = x
2. x(-x-3)  +  z(-x-3) + (x+1)(-y-8) = -x-3
3. x(x+1)   + 30(-x-3) + (x+1)(y+5)  = x+1

4. 25x      + 25z      + 30y         = 25
5. 25(-x-3) + z²       + 30(-y-8)    = z
6. 25(x+1)  + 30z      + 30(y+5)     = 30

7. yx       + 25(-y-8) + y(y+5)      = y
8. y(-x-3)  + z(-y-8)  + (y+5)(-y-8) = -y-8
9. y(x+1)   + 30(-y-8) + (y+5)(y+5)  = y+5

Restando la ecuación 6 de la 4 obtenemos:

z = -34

Sustituyendo el valor de z en la ecuación 4:

5x + 6y = 175 
y = (175 - 5x)/6

Sustituyendo la expresión de y en la primera ecuación, y multiplicando cada lado de la ecuación resultante por 6:

6x² + 150(-x-3) + (175-5x)(x+1) = 6x
6x² - 150x - 450 + 175x + 175 - 5x² - 5x - 6x = 0
x² + 14x - 275 = 0
(x + 25)(x - 11) = 0

Obtenemos dos posibles soluciones para la ecuación anterior, y por ende dos posibles soluciones para el problema original:

x = -25 => y = 50

y

x =  11 => y = 20

Para verificar qué respuestas son correctas, necesitamos sustituir los valores de x, y, z en las ecuaciones originales. Al verificar ambas soluciones obtenemos que solo la solución x = 11, y = 20, z = -34 es válida, obteniendo la matriz:

┌             ┐
│ 11  -14  12 │
│ 25  -34  30 │
│ 20  -28  25 │
└             ┘