El problema de la semana - Factorización LU

Una factorización LU de una matriz A es el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U cuyo resultado es igual a A. Una de las motivaciones para una factorización LU es el hecho de que esta factorización puede usarse como un método alternativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales, donde una vez que la matriz del sistema se ha factorizado, la solución del sistema se puede obtener resolviendo dos sistemas sencillos, uno por el método de sustitución hacia adelante y el otro por el método de sustitución hacia atrás. La factorización LU es otro enfoque diseñado para explotar sistemas triangulares.

Aunque es muy común que se le pida encontrar una factorización LU para una matriz cuadrada, los conceptos también se extienden a matrices rectangulares. En este problema de la semana, debes tratar con la factorización LU para una matriz rectangular.

Dada la matriz A:

┌              ┐
│ 3  -1  2  -3 │
│ 3  -2  3   0 │
│ 6  -4  7  -3 │
└              ┘

Encuentra una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U tal que A = LU.

Calcular todos los menores principales de la matriz A para verificar si es factorizable LU, donde los elementos de la diagonal de U sean distintos de cero. Todos los menores principales deben ser distintos de cero.

│ 3 │ = 3

│ 3  -1 │
│ 3  -2 │ = 3•(-2) - (-1)•3 = -3

│ 3  -1  2 │
│ 3  -2  3 │ = 3•(-2)•7 + (-1)•3•6 + 3•(-4)•2 - 2•(-2)•6 - (-1)•3•7 - 3•(-4)•3 = -3
│ 6  -4  7 │

Colocar la matriz Identidad a la derecha de la matriz A.

┌                        ┐
│ 3  -1  2  -3 | 1  0  0 │
│ 3  -2  3   0 | 0  1  0 │
│ 6  -4  7  -3 | 0  0  1 │
└                        ┘

Escalonar la matriz A utilizando transformaciones elementales por filas, pero sin realizar transformaciones de primer tipo (intercambiar dos filas). Realizar simultáneamente, las mismas trasformaciones elementales a la matriz Identidad.

r2 <———> r2 - r1
r3 <———> r3 - 2•r1
┌                         ┐
│ 3  -1  2  -3 |  1  0  0 │
│ 0  -1  1   3 | -1  1  0 │
│ 0  -2  3   3 | -2  0  1 │
└                         ┘
r3 <———> r3 - 2•r2
┌                          ┐
│ 3  -1  2  -3 |  1   0  0 │
│ 0  -1  1   3 | -1   1  0 │
│ 0   0  1  -3 |  0  -2  1 │
└                          ┘

La matriz resultante al escalonar A es la matriz triangular superior U.

    ┌              ┐
    │ 3  -1  2  -3 │
U = │ 0  -1  1   3 │
    │ 0   0  1  -3 │
    └              ┘

Invertir la matriz resultante en el lado derecho. Resolvamos este problema utilizando transformaciones elementales por filas, debido a que el hecho de que la matriz es triangular superior, facilita este paso.

┌                     ┐
│  1   0  0 | 1  0  0 │
│ -1   1  0 | 0  1  0 │
│  0  -2  1 | 0  0  1 │
└                     ┘
r2 <———> r2 + r1
┌                    ┐
│ 1   0  0 | 1  0  0 │
│ 0   1  0 | 1  1  0 │
│ 0  -2  1 | 0  0  1 │
└                    ┘
r3 <———> r3 + 2•r2
┌                   ┐
│ 1  0  0 | 1  0  0 │
│ 0  1  0 | 1  1  0 │
│ 0  0  1 | 2  2  1 │
└                   ┘

La matriz resultante cuando se calcula la inversa es la matriz triangular inferior L.

    ┌         ┐
    │ 1  0  0 │
L = │ 1  1  0 │
    │ 2  2  1 │
    └         ┘