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Una de las factorizaciones matriciales más utilizadas es la diagonalización de una matriz, en la cual se descompone una matriz como el producto de tres matrices donde la matriz intermedia es diagonal y de las dos restantes, una es la inversa de la otra, obtenidas como parte del proceso de calcular los vectores y valores propios. La diagonalización de matrices juega un papel clave en la visión artificial y el aprendizaje automático en general. Otro ejemplo importante del uso de esta factorización está relacionado con el algoritmo que utiliza Google para clasificar las páginas, el cual se basa en los valores y vectores propios.

Este problema de la semana, aunque no pide directamente que se diagonalice una matriz, está relacionado con el concepto de valores propios, y para resolverlo necesitará conocer los fundamentos de los procedimientos que se utilizan para calcularlos.

Las bases ortogonales tienen algunas ventajas prácticas y son muy útiles cuando se tratan problemas de proyecciones en subespacios. Estas bases se definen en espacios equipados con un producto interno, también llamado producto punto, y por definición, una base se denomina ortogonal si cada par de vectores de la base son ortogonales, es decir, su producto interno es 0. Cuando la longitud de cada vector es 1 (los vectores están normalizados), la base se denomina base ortonormal.

En un espacio con producto interno, siempre es posible obtener una base ortonormal a partir de cualquier base, utilizando el algoritmo de Gram-Schmidt. Para resolver este problema de la semana, tendrás que demostrar que dominas el proceso de Gram-Schmidt y el cálculo de la matriz de cambio de base.

En el Álgebra Lineal, los subespacios más importantes están relacionados con las matrices. Uno de estos subespacios es el Espacio Columna, que consiste en todas las combinaciones lineales de las columnas de una matriz. Este subespacio, el generado por las columnas de una matriz, es crucial en el Álgebra Lineal y está relacionado con 4 de los temas más importantes: Matrices, Sistema de Ecuaciones Lineales, Espacios Vectoriales y Transformaciones Lineales.

Este problema de la semana trata sobre este subespacio, pero también debes aplicar el concepto de matriz simétrica.

Una factorización LU de una matriz A es el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U cuyo resultado es igual a A. Una de las motivaciones para una factorización LU es el hecho de que esta factorización puede usarse como un método alternativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales, donde una vez que la matriz del sistema se ha factorizado, la solución del sistema se puede obtener resolviendo dos sistemas sencillos, uno por el método de sustitución hacia adelante y el otro por el método de sustitución hacia atrás. La factorización LU es otro enfoque diseñado para explotar sistemas triangulares.

Aunque es muy común que se le pida encontrar una factorización LU para una matriz cuadrada, los conceptos también se extienden a matrices rectangulares. En este problema de la semana, debes tratar con la factorización LU para una matriz rectangular.