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Las transformaciones lineales son uno de los conceptos claves del Álgebra Lineal, y se consideran la parte más útil de esta rama de las matemáticas. Una transformación lineal es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva la linealidad.

Hay algunos conceptos importantes que los estudiantes deben dominar para resolver problemas sobre transformaciones lineales, como el núcleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformación lineal. Este problema de la semana tratará sobre el kernel (el conjunto de vectores en el espacio vectorial de partida que se transforma en el vector cero) y la nulidad de una transformación lineal, y su solución solo requiere saber cómo trabajar con matrices y hacer operaciones elementales por fila.

Muchos conceptos del Álgebra Lineal han surgido de problemas geométricos y luego se han generalizado a espacios de dimensiones superiores que no tienen representación visual. Algunos de los conceptos geométricos más utilizados son la longitud, la distancia y la perpendicularidad, los cuales proporcionan poderosas herramientas geométricas para resolver muchos problemas, incluidos los problemas de mínimos cuadrados.

Estas tres nociones se definen en términos del producto interno de dos vectores, que también es el concepto clave para tratar las bases ortogonales, el tema del problema de esta semana. Las bases ortogonales, y particularmente las bases ortonormales, son muy útiles cuando se trabaja con proyecciones sobre subespacios, entre otros problemas.

Un concepto importante relacionado con las bases y las coordenadas es la matriz de cambio de base o matriz de transición. Cuando hay dos bases ordenadas para un mismo espacio vectorial, la matriz de cambio de base de la primera base a la segunda, es la matriz que nos permite obtener el vector de coordenadas relativo a la segunda base utilizando solo el vector de coordenadas relativo a la primera, sin necesidad de conocer las bases.

Comprender las matrices de cambio de base te ayudará a comprender algunos problemas relacionados con la diagonalización y la descomposición en valores singulares, entre otros conceptos importantes que se utilizan ampliamente en muchos campos de las matemáticas, la física y la ingeniería.

Para resolver el problema de esta semana, deberás utilizar los conceptos de vector coordenado y matriz de cambio de base.

Cuando hablamos de vectores, la primera idea que nos viene a la mente es relacionar este concepto con los vectores euclidianos, y es muy común que en los libros y exámenes de álgebra lineal, la mayoría de los problemas relacionados con espacios vectoriales y aplicaciones lineales estén asociados a los espacios euclidianos, pero a veces, existen ejercicios que involucran el trabajo con otros conjuntos como matrices, polinomios y funciones, porque, como es bien conocido, estos conjuntos también son Espacios Vectoriales.

Linear Algebra Decoded solo trata con espacios vectoriales euclidianos, pero es muy sencillo trabajar con otros espacios vectoriales como los polinomios. En este artículo analizaremos cómo utilizar Linear Algebra Decoded para resolver problemas que usan el conjunto de los polinomios como espacios vectoriales.

Al igual que la semana pasada, el problema de esta semana también está relacionado con los sistemas generadores, pero esta vez con el concepto de pertenencia de un vector al subespacio generado por un conjunto de vectores. Una vez más se pondrá de manifiesto la importancia de dominar los conceptos básicos de rango de una matriz, transformaciones elementales por fila para escalonar una matriz y sistemas de ecuaciones lineales, para resolver los problemas relacionados con los espacios y subespacios vectoriales.